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2人の幼女とチェス盤の部屋

2人の幼女とチェス盤の部屋

「2人の幼女とチェス盤の部屋」という次のような論理問題を解説する
- 以下の手順の後，幼女Bが任意の整数$x\left(0\leq x<64\right)$を求められるようにするには，幼女Aはどのような操作を行うべきか
  1. 悪魔が8×8チェス盤の各マスに1個ずつ，合計0個以上64個以下のポーンをランダムに配置する
  2. 悪魔は幼女Aにチェス盤を見せ，任意の数字$x\left(0\leq x<64\right)$を伝える
  3. 幼女Aは，チェス盤に対して次のいずれかの操作のうち可能であるものを1回だけ必ず行う
    - 任意のマスからポーンを1個だけ取り除く
    - 任意のマスにポーンを1個だけ追加する
  4. 悪魔は幼女Bにチェス盤を見せる

問題の簡潔化

$f(g(b,x))=x$とできるような写像$f,g$を求めよ
- $B=\left\{0,1\right\}$
- $b\in B^{64}$
- $x\in B^6$
- $f: B^{64} \rightarrow B^6$
- $g: B^{64} \times B^6\rightarrow B^{64}$
  - $b$と$g(b,x)$は1ビットだけ異なる

解答

$f(b)=f_0\oplus f_1\oplus f_2 \oplus \dots \oplus f_{63} \quad\left(f_i=i b_i\right)$
$b'=g(b,x) \implies b'_m \neq b_m\quad\left(m=x\oplus f(b)\right)$
チェス盤が16x16の場合のプログラム

解説

$x=f(b)\oplus m$となるような$m\in B^6$は必ず存在する
盤面の各マスに$m$の値を割り当てることで，1マスの操作だけで$m$を表現できる
- 盤面のマス目の数も，$m$がとりうる値の数も64
  - $f(g(b,x))=f(b)\oplus m=f(b)\oplus f_m\oplus m(1-b_m)$

応用

長さ$2^N$の任意のビット列について，任意の1ビットだけを反転させることで，長さ$N$のビット列を表現できる

参考文献

logic, word-play, thought-experiment, info-tech, coding-theory