統計学の基礎

統計量: 何らかのアルゴリズムを適用し得た後の，データの特徴を表す値
- 要約/基本/記述統計量: データを要約する統計量
  - 順序統計量: データをソートすることで得られる統計量
- 検定統計量: 統計検定に使われる統計量
実現値: 統計量の実際の値

任意の分布の母集団と，大きさ$n$の標本について，次が成り立つ
- $E\left[\bar{X}\right]=\mu$
- $V\left[\bar{X}\right]=\frac{\sigma^2}{n}$

確率変数$X_1, X_2, \cdots, X_n$が全て独立かつ同一の分布(平均$\mu$,分散$\sigma^2$)に従うとき，$n$が十分に大きいならば，$X_i$の平均$\bar{X}$は正規分布$N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$に従う
- 母集団が正規分布でなくとも，標本平均$\bar{X}$は近似的に正規分布に従う
- 母集団が正規分布の場合，標本平均$\bar{X}$は正規分布に従う

正規母集団$N\left(\mu,\sigma^2\right)$から抽出した大きさ$n$の標本について，その線形和$Y=a_1X_1+a_2X_2+\cdots+a_nX_n$は正規分布に従う

標本統計量$X$	母集団統計量$\theta$	一致性	不偏性
標本平均$\bar{X}$	母平均$\mu$	v	v
標本分散$S^2$	母分散$\sigma^2$	v
標本不偏分散$u^2$	母分散$\sigma^2$	v	v

区間推定: 統計量の実現値より母数の信頼区間を求める推定方法
信頼区間: 事前に定めた信頼係数$p$と，母数がその区間内に存在する確率が，等しいような区間$a,b$
- $P\left(a\leq X\leq b\right)=p$

$z\sim N(0,1)$，信頼係数$p$において，$P(z\geq\alpha)=\frac{p}{2}$であるとき，正規母集団$N\left(\mu,\sigma^2\right)$の母平均$\mu$の信頼区間は，大きさ$n$の標本の標本平均$\bar{X}$の実現値$\bar{x}$より，次のように求められる
- $P\left(\bar{x}-\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\leq \mu\leq \bar{x}+\alpha\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right)=p$
中心極限定理より，母集団が正規分布でなくとも，標本が十分に大きいならば同様の方法で区間推定ができる

母集団と標本